平方根(數學名詞)
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數學名詞賈盛強演唱歌曲
平方根，又叫二次方根，表示為〔±√￣〕，其中屬於非負數的平方根稱之為算術平方根（arithmetic square root）。一個正數有兩個實平方根，它們互為相反數，負數沒有平方根
基本介紹
中文名：平方根外文名：Square root所屬學科：數學別名：二次方根分類：數學代數類：
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公式如果一個非負數x的平方等於a，即，，那么這個非負數x叫做a的算術平方根。a的算術平方根記為，讀作“根號a”，a叫做被開方數（radicand）。求一個非負數a的平方根的運算叫做開平方。結論：被開方數越大，對應的算術平方根也越大（對所有正數都成立）。一個正數如果有平方根，那么必定有兩個，它們互為相反數。顯然，如果知道了這兩個平方根的一個，那么就可以及時的根據相反數的概念得到它的另一個平方根。負數在實數系內不能開平方。只有在複數系內，負數才可以開平方。負數的平方根為一對共軛純虛數。例如：-1的平方根為±i，-9的平方根為±3i，其中i為虛數單位。規定：，或。一般地，“√￣”僅用來表示算術平方根，即非負數的非負平方根。規定：0的算術平方根為0。運算描述像加減乘除一樣，求平方根也有自己的豎式算法。以計算 為例。過程如右下圖：最後求出 約等於1.732（保留小數點後三位）。過程1因為每次補數需要補兩位，所以被開方數不只一個數位時，要保證補數不能夾著小數點。例如三位數，必須單獨用百位進行運算，補數時補上十位和個位的數。過程2每一個過渡數都是由上一個過渡數變化而後，上一個過渡數的個位數乘以2，如果需要進位，則往前面進1，然後個位升十位。以此類推，而個位上補上新的運算數字。簡單地講，過渡數27，是第一次商的1乘以20，把個位上的0用第二次商的7來換，過渡數343是前兩次商的17乘以20=340，其中個位0用第三次商的3來換，第三個過渡數3462是前三次商173乘以20=3460，把個位0用第四次的商2來換，依次類推。過程3誤差值的作用。如果要求精確到更高的小數數位，可以按規則，對誤差值繼續進行運算。例子計算√103. 1 6 2 2 7-------------------------------------√10’00’00’00’00’--------3| 9 3 第1位3-------6 1|100 2*3*10+1 =61 第2位1| 61-------626 | 3900 2*31*10+6 =626 第3位6| 3756--------6322|14400 2*316*10+2 =6322 第4位2|12644---------63242|175600|126484-----------632447|4911600|4427129---------××××××00（如此循環下去）所以，√10=3.16227…再如√7= 2. 6 4 5 …---------------------2 | 74--------------4 6 |300276--------------------52 4 | 24002096-----------------------------528 5 | 3040026425-------------------------------5290？| 3 9 75 00牛頓疊代法上述筆算開方方法是我們大多數人上學時課本附錄給出的方法，實際中運算中太麻煩了。我們可以採取下面辦法：比如136161這個數字，首先我們找到一個和136161的平方根比較接近的數，任選一個，比方說300到400間的任何一個數，這裡選350，作為代表。我們先計算0.5(350+136161/350)，結果為369.5。然後我們再計算0.5(369.5+136161/369.5)得到369.0003，我們發現369.5和369.0003相差無幾，並且3692末尾數字為1。我們有理由斷定3692=136161。一般來說，能夠開方開的盡的，用上述方法算一兩次基本結果就出來了。再舉個例子：計算 。首先我們發現6002<469225<7002，我們可以挑選650作為第一次計算的數。即算0.5(650+469225/650)得到685.9。而685附近只有6852末尾數字是5，因此6852=469225。從而 。 對於那些開方開不盡的數，用這種方法算兩三次精度就很可觀了，一般達到小數點後好幾位。實際中這種算法也是計算機用於開方的算法。用Ruby求平方根（註：sqrt = square root平方根）module MyMath def sqrt(num,rx=1,e=1e-10) #參數1，需要求平方根的目標；參數2，疊代區間；參數3，精度 num*=1.0 #目標初始化 (num-rx*rx).abs < e ? rx : sqrt(num,(num/rx+rx)/2,e) #計算平方根 endendinclude MyMathputs sqrt(2) #求2的平方根puts sqrt(2,5,0.01) #求2的平方根+疊代區間與精度。C語言版求平方根double Sqrt(double a,double p)//a是被開平方根數，p是所求精度{ double x=1.0;double cheak; do { x = (a / x + x) / 2.0; cheak = x * x - a; } while((cheak >= 0 ? cheak : -cheak) > p); return x;}int main(){ printf("%.4f\n",Sqrt(2.0,0.0001)); printf("%.4f\n",Sqrt(0.09,0.0001)); return 0;}
輸出結果：1.41420.3000知識教案算術平方根定義：如果一個非負數x的平方等於a，那么這個非負數x叫做a的算術平方根，記作 。其中，a叫做被開方數。例如：因為2和-2的平方都是4，且只有2是正數，所以2就是4的算術平方根。由於正數的平方根互為相反數，因此正數的平方根可分別記作 和 ，可合寫為 。例如5的平方根可以分別記作 和 ，可合寫為 。0的平方根僅有一個，就是0本身。而0本身也是非負數，因此0也是0的算術平方根。可記作 。注意：算術平方根只有一個！教學重點與難點分析1.本節重點是平方根和算術平方根的概念。平方根是開方運算的基礎，是引入無理數的準備知識。平方根概念的正確理解有助於符號表示的理解，是正確求平方根運算的前提，並且直接影響到二次根式的學習。算術根的教學不但是本章教學的重點，也是今後數學學習的重點。在後面學習的根式運算中，歸根結底是算術根的運算，非算術根也要轉化為算術根。2.本節難點是平方根與算術平方根的區別與聯繫。首先這兩個概念容易混淆，而且各自的符號表示意義學生不是很容易區分，教學中要抓住算術平方根式平方根中正的那個，講清各自符號的意義，區分兩種表示的不同。3.本節主要內容是平方根和算術平方根，注意數字要簡單，關鍵讓學生理解概念。另外在文字敘述時注意語言的嚴謹規範。求平方根教學重點難點1.教學重點是用計算器求一個正數的平方根的程式，無論實際生活，還是其他學科都會經常用到計算器求一個數的平方根，這也是學生的基本技能之一。2.教學難點準確用計算器求一個正數的平方根，由於開平方運算要用到第二功能鍵，學生容易漏掉此步操作，在教學過程中要著重說明此鍵的作用功能教法建議。3.在給學生講解如何利用計算器求一個數的平方根時，應掌握方法。
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